Textauszug
Der gesamte Essay findet sich in
dem neu erschienenen Buch:
Zahlen und formalisierte Zahlenwerte
-Wer die Frage stellt, ob 0,999… gleich 1 sei, erhält unterschiedliche Antworten. Dass nullkomma weniger ist als Eins und nicht gleich Eins erscheint zunächst naheliegend. Jedoch antworten Vertreter der mathematischen Disziplinen auf die Frage meist bejahend: der Dezimalbruch 0,999... sei gleich 1, sagen sie. So vorgetragen in einem bekannten Online-Magazin (Zeitonline, 18.7.13).
-Wie kommt es zu dieser Aussage und warum widerspricht sie der naheliegenden Annahme?
-Wer praktischen Erwägungen folgt, dürfte sie bestätigt finden: eine Tüte mit 0,999... Kilo Äpfeln kann ohne Verlust als 1 Kilo gewertet werden.
-Allein bleibt der kategorische Einwand davon unberührt : 0,999… kann nicht gleich 1 sein, da das Komma nach der Null besagt, dass es nicht an 1 heranreicht, auch wenn die Differenz unendlich klein ist.
-Wo Unendlichkeit als mathematischen Faktor gehandhabt wird, machen Mathematiker allerdings geltend, unendlich kleine Zahlen existierten in der Mathematik der Reellen Zahlen nicht, und daher sei 0,999... gleich 1. Denn die drei Punkte würden besagen, dass man es mit einem Grenzwert zu tun habe: je mehr Nachkommastellen, um so näher der 1. Die Differenz zur 1 wird immer kleiner, kleiner als jede positive Zahl, bei einer unendlichen Reihe 0,999... sei sie mithin gleich 0.
-Eine andere Begründung lautet : Eins geteilt durch Drei ergibt 0,333..., mit einer unendlichen Reihe von Dreien hinter dem Komma. Mit Drei malgenommen, also zurückgerechnet, ergibt das 0.999..... Wenn dies das Ergebnis der Teilung von Eins durch 3 sei, und der anschließenden Multiplikation mit 3, sei folglich 0.999... gleich Eins.
-Freilich stellt dies nur eine andere, und letzthin zirkelschlüssige Formulierung der ausgänglichen Behauptung dar, da 0,333… so wenig oder so viel gleich einem Drittel von 1 ist, wie 0,999… gleich 1 sein kann.
-Das Mißverständnis erwächst aus der unterschiedlichen Handhabung der Zahlenbegriffe, indem im Fall der Zahl 1 eine natürliche Zahl gemeint ist, im Falle von 1/3 jedoch eine Funktion, nämlich die, 1 durch 3 zu teilen. Ebenso stellt die Angabe 0,999… eine Funktion dar, nämlich den Rest der durch Punkte angedeuteten Zahl als Grenzwert zu rechnen. Diese kann damit funktional oder quantitativ als gleich 1 gerechnet werden, ohne dass sie aber im qualitativen oder wesentlichen Sinne 1 ist.
- Die formale Gleichheit basiert auf einem begrifflichen Kontextwechsel.
Er besteht darin, dass bei einer nicht kontextabhängigen, "natürlichen" Nennung von Zahlen, die Natürlichen Zahlen gemeint sind.
-Dezimalzahlen gehören zur Gruppe der Reellen Zahlen.
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Die Natürlichen Zahlen nun als Reelle Zahlen zu betrachten, stellt den Kontextwechsel dar, bei dem die ersteren in Funktionen umgewandelt werden, nämlich die natürliche 1 als Summe von Dezimalstellen aufzufassen.
-Es ist eine andere Mathematik. Eigentlich sind die Reellen Zahlen Aussagen über Zahlen, es sind Zahlen über Zahlen.
- Der Unterschied liegt darin, ob Zahlen als Ideen, mithin als wesentlich oder als nominalistisch und mithin als Funktionen aufgefasst werden. Im einen Fall werden Zahlen in erster Linie als Qualitäten und nicht als Quantitäten aufgefasst. So stellt die Eins das Ungeteilte dar, und die Zwei steht für die Teilung schlechthin. Im Hebräischen bildet daher das Wort für die Zwei als einziges unter den Zahlenbezeichnungen eine Mehrzahl -staim - die einzige Zahl mit der Pluralendung -im
- Die antike Zahlenauffassung betrachtete die Eins als Grundzahl, zu der nicht etwa durch Addierung eine weitere Eins hinzugefügt werden kann, mit dem Ergebnis, nunmehr Zwei, als zwei mal Eins zu haben, sondern die Zwei wurde als alleiniges Produkt der Eins aufgefasst - weil Eins bedeutet, dass es nichts anderes, kein weiteres, gibt. Damit die Zwei entstehen kann, zieht sich die Eins in ihrer Alleinheit gewissermaßen zurück und läßt die Zwei zu.
- Das ist schon formuliert in der Kosmologie des Heraklit, der die Entstehung der Schöpfung als Rückzug des Feuers darstellte.
- Dies entspricht dem Begriff des Zimzum in der jüdischen Mystik, der die Schöpfung als den Rückzug des Alleinen artikuliert.
- In der Teilungssumme erhält man die 2, hervorgebracht von der 1, die in der 2 aber nicht als eines von Zweien enthalten ist, gleichsam die erste Eins neben einer Weiteren, sondern als Zurückgezogenes, als Null, nämlich als Teilendes und daher unterscheidendes Wirkprinzip der beiden Elemente der 2.
Die ursprüngliche allumfassende 1 erscheint auf der Ebene der 2 als Teiler der zwei Eelemente, als Nullsumme, die auf diese Weise die beiden neuen Elemente hervorbringt. Erst in der Drei erscheint sie wieder als Zahl. Und so fort, im Wechsel zwischen paaren und unpaaren Zahlen.
- Philon von Alexandrien nannte den Logos den Teiler. Der den Jahreskreis in die vier Quadranten der Jahreszeiten und weiter in die zwölf Tierkreiszeichen teilt, folgend einem Bild des Aristoteles der die Welt als Wachs und Siegel, als Empfangendes und Zeugendes beschrieb.
- Wie im chinesischen Tao-Gedanken, wo das Tao durch die Teilung in Jin und Jang, das empfangende und das zeugende Prinzip, die Schöpfung initiiert.
-Die abstrakte Mathematik enstand nicht aus dem Abzählen von Dingen. Sie entstand aus der Musik und in Wechselbeziehung zur musikalischen Harmonielehre. So verbürgt, bei den Pythagoräern.
Eine Saite wurde gespannt, sie erzeugt einen Ton, wird sie in der Mitte durch einen Steg geteilt, erzeugt sie, je nach Verhältnis, zwei unterschiedliche neue Töne. Zahlenteilungsverhältnisse entsprechen musikalischen Harmonien. Deshalb fassten die Pythagoräer nicht aufgehende Brüche als Verletzung der Harmonie auf.
-Hieraus erschließt sich ein erstes Verständnis der Null, indem diese als Mittelpunkt einer Achse erscheint, die es nunmehr erlaubt, einen Raum von postiven und negativen Zahlen zu verwenden.
Die Null als Mitte des Koordinatenkreuzes. Sie teilt nur scheinbar, in Wirklichkeit geht es von ihr aus, hervor aus dem Nichts. Es ist die erste Bewegung des Alleinen.
-Indem es sich zurückzieht, entsteht Peripherie und Zentrum.
Die Gegenwart schafft Früher und Später, Innen und Aussen. Das Fünfte von Vieren.
Die Griechen nannten es Quintessenz, jener Begriff, der zum Synonym für das Wesentliche wurde.
-Der Kategorienwechsel beim Übergang von natürlichen oder ganzen Zahlen zu Reellen Zahlen ist dabei der erste Schritt zu einer formalisierenden Meta-Mathematik, indem hier jede Natürliche Zahl für eine Dezimalstellen-Auflage der Summe der natürlichen Zahlen steht.
-Eine zeitgenössischen Entwicklung, bei der Rechenoperationen zu meta-mathematischen Objekten formalisiert werden, und mitunter mit mathematischen Objekten verwechselt werden, stellt die Quantenphysik dar.
Dies, insofern die erkenntnistheoretische Ausgangslage quantenphysikalischer Formeln, nämlich die Unbestimmbarkeits-Erkenntnis, nach der die Wirklichkeit eines beobachteten Vorgangs, eine andere ist, als die eines Unbeobachteten, in der routinierten Handhabung formalisierter Rechenoperationen nicht mehr enthalten ist, sondern diese gleichsam mechanisch, eben als Quanten-Mechanik begriffen werden.
-Der Mathematiker Roger Penrose formulierte eine entsprechende Kritik:
Diese (die Quantentheorie) aber hat in Penrose' Augen selber ein konzeptionelles Loch: das sogenannte „Meßproblem“. Darunter versteht man den Umstand, daß Quantenobjekte, etwa Teilchen, rechnerisch als „Zustände“ behandelt werden, die selber nicht beobachtbar sind, sondern nur so etwas wie ein Katalog von Wahrscheinlichkeiten für den Fall einer Beobachtung darstellen. Beobachtbare Eigenschaften „materialisieren“ sich demnach erst im Moment der Messung, ihre Meßwerte sind nur statistisch vorhersagbar. Etwas, das nach Penrose' Ansicht sowohl die Quanten- als auch die Relativitätstheorie über Bord werfen müßte, ist die Zeit-Symmetrie, also der Umstand, daß ihre Gleichungen unabhängig davon sind, ob die Zeit vorwärts oder rückwärts läuft. Diese Symmetrie fehlt genau dort, wo beide Theorien an ihre Grenzen stoßen: „ZeitAsymmetrien in den Singularitäten zeigen uns, daß die Quantengravitation nicht zeitsymmetrisch sein kann. Wo sehen wir diese Asymmetrie sonst? Im Meßprozeß. Da gibt es einen Zusammenhang!“
Roger Penrose, Die Welt muß stimmen, FAZ,27.03.2006,
-Das Feld der Quantenmechanik verhält sich dabei vielleicht ähnlich wie die Börse: Beobachtungen und Messungen des Geschehens und dazu gemachte Aussagen verändern es, erschaffen es erst
(...)
(c) Herbert Weiler 2013
Textauszug
Der gesamte Essay findet sich in dem demnächst erscheinenden Buch: Sterndeuter aus dem Osten / Essays und astrologische Betrachtungen >>